Am Sun, 21 Apr 2024 19:30:46 +0200 schrieb WM:

> On 21.04.2024 17:31, Moebius wrote:
>> Am 21.04.2024 um 16:50 schrieb WM:
>>
>>>> {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3), ...}
>>>>
>>> Die Menge enthält |ℕ| Elemente.
>>
>> Das ist gut zu wissen. Da "die Projektion auf die 2-te Komponente" der
>> Elemente dieser Menge NICHT MEHR Elemente enthalten kann als die Menge
>> selbst, folgt daraus, dass |{0, 1, 2, 3, ...}| <= |{1, 2, 3, ...}|
>> gilt.
>
> Nein, die Menge der an zweiter Stelle auftretenden natürlichen Zahlen
> besitzt ebenfalls die Anzahl |ℕ|. Bijektionenen beweisen
> Gleichzahligkeit streng. Wenn unten 0 dazukommt, so fällt oben eine Zahl
> weg.
So funktionieren Unendlichkeiten nicht. Die bleiben unendlich,
wenn man ein Element hinzufügt; es gibt auch kein „oben”, wo etwas
wegfallen müsste. Welche Zahl sollte das überhaupt sein.

>> Hinweis: Tatsächlich gilt natürlich |{1, 2, 3, ...} u {0}| = |{1, 2, 3,
>> ...}| eben WEIL es eine Bijektion von {1, 2, 3, ...} auf {0, 1, 2, 3,
>> ...} gibt
>
> Eben weil es eine Bijektion gibt, besteht strenge Gleichzahligkeit.
> |{1, 2, 3, ...} u {0}| = |{1, 2, 3, ...}| widerspricht dem.
Was denn nun?

--
joes

On 03.05.2024 15:43, joes wrote:
> Am Sun, 21 Apr 2024 19:30:46 +0200 schrieb WM:
>
>> On 21.04.2024 17:31, Moebius wrote:
>>> Am 21.04.2024 um 16:50 schrieb WM:
>>>
>>>>> {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3), ...}
>>>>>
>>>> Die Menge enthält |ℕ| Elemente.
>>>
>>> Das ist gut zu wissen. Da "die Projektion auf die 2-te Komponente" der
>>> Elemente dieser Menge NICHT MEHR Elemente enthalten kann als die Menge
>>> selbst, folgt daraus, dass |{0, 1, 2, 3, ...}| <= |{1, 2, 3, ...}|
>>> gilt.
>>
>> Nein, die Menge der an zweiter Stelle auftretenden natürlichen Zahlen
>> besitzt ebenfalls die Anzahl |ℕ|. Bijektionenen beweisen
>> Gleichzahligkeit streng. Wenn unten 0 dazukommt, so fällt oben eine Zahl
>> weg.
> So funktionieren Unendlichkeiten nicht.
So funktioniert *aktuale* Unendlichkeit, wenn nämlich tatsächlich alle
natürlichen Zahlen vorhanden und engagiert sind, dann ist keine mehr
übrig. Diese strikte Anwendung wird allerdings in der Mengenlehre nicht
durchgeführt, weil man nicht auf das Konzept dunkler Zahlen verfallen
ist. Deswegen verwendet man einen Mischmasch aus potentieller und
aktualer Unendlichkeit. Man behauptet, dass eine Menge, z.B. ℕ alle
Elemente enthält, so dass keines fehlt, aber wenn man alle verdoppelt,
dann passen die eindeutig größeren doch noch hinein. Unmathematische
Inkonsequenz, Verletzung einfachster Logik.

> Die bleiben unendlich,
> wenn man ein Element hinzufügt; es gibt auch kein „oben”, wo etwas
> wegfallen müsste. Welche Zahl sollte das überhaupt sein.

Solche Zahlen kann man nicht angeben. Ich nenne sie dunkle Zahlen. Ohne
sie kann es keine aktuale Unendlichkeit geben. Die zum Rechnen
individuell angebbaren Zahlen machen nur einen verschwindend kleinen
Anfangsabschnitt der Menge definierbarer Zahlen aus:
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
Der unendliche Rest ist dunkel und kann nur kollektiv manipuliert werden:
|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0
Da bleibt dan nnicht übrig.

Gruß WM

Am Sat, 04 May 2024 12:50:44 +0200 schrieb WM:

> On 03.05.2024 15:43, joes wrote:
>> Am Sun, 21 Apr 2024 19:30:46 +0200 schrieb WM:
>>
>>> On 21.04.2024 17:31, Moebius wrote:
>>>> Am 21.04.2024 um 16:50 schrieb WM:
>>>>
>>>>>> {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3), ...}
>>>>>>
>>>>> Die Menge enthält |ℕ| Elemente.
>>>>
>>>> Das ist gut zu wissen. Da "die Projektion auf die 2-te Komponente"
>>>> der Elemente dieser Menge NICHT MEHR Elemente enthalten kann als die
>>>> Menge selbst, folgt daraus, dass |{0, 1, 2, 3, ...}| <= |{1, 2, 3,
>>>> ...}| gilt.
>>>
>>> Nein, die Menge der an zweiter Stelle auftretenden natürlichen Zahlen
>>> besitzt ebenfalls die Anzahl |ℕ|. Bijektionenen beweisen
>>> Gleichzahligkeit streng. Wenn unten 0 dazukommt, so fällt oben eine
>>> Zahl weg.
>> So funktionieren Unendlichkeiten nicht.
> So funktioniert *aktuale* Unendlichkeit, wenn nämlich tatsächlich alle
> natürlichen Zahlen vorhanden und engagiert sind, dann ist keine mehr
> übrig. Diese strikte Anwendung wird allerdings in der Mengenlehre nicht
> durchgeführt, weil man nicht auf das Konzept dunkler Zahlen verfallen
> ist. Deswegen verwendet man einen Mischmasch aus potentieller und
> aktualer Unendlichkeit. Man behauptet, dass eine Menge, z.B. ℕ alle
> Elemente enthält, so dass keines fehlt, aber wenn man alle verdoppelt,
> dann passen die eindeutig größeren doch noch hinein. Unmathematische
> Inkonsequenz, Verletzung einfachster Logik.
Ich finde es ja praktischer, diesen Mischmasch zu verwenden, als „dunkle”
Zahlen zu erfinden. Es mag zwar unintuitiv sein, aber welche Logik ist
verletzt? Unendliche Mengen verhalten sich halt anders, na und.

N enthält nicht alle Elemente von irgendwas (was?) anderem.
Es kann auch keins „fehlen”; entweder ist es drin oder nicht.

Du verwechselst die Anzahl der Elemente mit ihrer Größe.
Die geraden Zahlen wachsen einfach ein bisschen schneller.
Was passiert, wenn man die Halbierung der geraden Zahlen betrachtet?

>> Die bleiben unendlich,
>> wenn man ein Element hinzufügt; es gibt auch kein „oben”, wo etwas
>> wegfallen müsste. Welche Zahl sollte das überhaupt sein.
>
> Solche Zahlen kann man nicht angeben. Ich nenne sie dunkle Zahlen. Ohne
> sie kann es keine aktuale Unendlichkeit geben. Die zum Rechnen
> individuell angebbaren Zahlen machen nur einen verschwindend kleinen
> Anfangsabschnitt der Menge definierbarer Zahlen aus:
> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo Der unendliche Rest ist dunkel
> und kann nur kollektiv manipuliert werden:
> |ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0 Da bleibt dann nicht übrig.

Man kann die „dunklen” Zahlen nicht angeben, und sie nur kollektiv
behandeln. Dann kann man sie ja fast ignorieren.

Was ist N_def? Das, was wir geläufigerweise unter N verstehen?
Was ist der Unterschied zwischen {1, 2, …, n} und {1, 2, …}?
Ich sehe einen Widerspruch zwischen deinen beiden Gleichungen.

--
joes

On 04.05.2024 15:16, joes wrote:
> Am Sat, 04 May 2024 12:50:44 +0200 schrieb WM:

> Ich finde es ja praktischer, diesen Mischmasch zu verwenden, als „dunkle”
> Zahlen zu erfinden. Es mag zwar unintuitiv sein, aber welche Logik ist
> verletzt? Unendliche Mengen verhalten sich halt anders, na und.

Diese Logik ist verletzt: Alle natürlichen Zahlen werden vergrößert, zum
Beispiel verdoppelt. Trotzdem bleibt die Menge unverändert.
>
> N enthält nicht alle Elemente von irgendwas (was?) anderem.
> Es kann auch keins „fehlen”; entweder ist es drin oder nicht.

Wenn aber schon alle da sind, so dass keines mehr hinzugefügt werden
kann, dann kann doch noch was hinzugefügt werden?
>
> Du verwechselst die Anzahl der Elemente mit ihrer Größe.
> Die geraden Zahlen wachsen einfach ein bisschen schneller.

Nein, ich akzeptiere einfach, dass die Menge vollständig ist. Zum
Beispiel vollständig angetreten, um mit einer anderen Menge in Bijektion
zu stehen Beisoiel Hilberts Hotel: Alle natürlichen Zimmernummern sind
mit allen natürlich nummerierten Gästen versehen. Und nun kommt doch
noch ein natürlich nummerierter Gast. Ich halte das für inkonsistent.

> Man kann die „dunklen” Zahlen nicht angeben, und sie nur kollektiv
> behandeln. Dann kann man sie ja fast ignorieren.

Das kann man ohne Zweifel. Alles, was in der Mathematik als Zahl eine
Rolle spielt, ist erkennbar. Dunkle Zahlen müssen nicht existieren. Aber
die reelle Achse hätte dann Lücken.
>
> Was ist N_def? Das, was wir geläufigerweise unter N verstehen?

ES ist die potentiell unendliche Folge, die zum Beispiel aus Peanos
Axiomen resultiert.

> Was ist der Unterschied zwischen {1, 2, …, n} und {1, 2, …}?
> Ich sehe einen Widerspruch zwischen deinen beiden Gleichungen.

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
Das besagt, alle von Peano definierten natürlichen Zahlen gehören zu
einer stets endlichen, wenn auch nicht fixierbaren Menge oder besser
Kollektion, auf die noch unendlich viele Zahlen folgen.

Will man *alle* natürlichen Zahlen manipulieren, dann kann man das nur
kollektive tun. Jede individuelle lässt ja ℵo übrig.
|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0

Gruß, WM

Am Sat, 04 May 2024 17:15:40 +0200 schrieb WM:

> On 04.05.2024 15:16, joes wrote:
>> Am Sat, 04 May 2024 12:50:44 +0200 schrieb WM:
>
>> Ich finde es ja praktischer, diesen Mischmasch zu verwenden, als
>> „dunkle”
>> Zahlen zu erfinden. Es mag zwar unintuitiv sein, aber welche Logik ist
>> verletzt? Unendliche Mengen verhalten sich halt anders, na und.
>
> Diese Logik ist verletzt: Alle natürlichen Zahlen werden vergrößert, zum
> Beispiel verdoppelt. Trotzdem bleibt die Menge unverändert.
Die Größe der Elemente hat nichts mit ihrer Anzahl zu tun.

>> N enthält nicht alle Elemente von irgendwas (was?) anderem.
>> Es kann auch keins „fehlen”; entweder ist es drin oder nicht.
>
> Wenn aber schon alle da sind, so dass keines mehr hinzugefügt werden
> kann, dann kann doch noch was hinzugefügt werden?
Ich verstehe nicht, was das heißen soll. Ist das eine Nachfrage oder eine
Voraussetzung?

>> Sie verwechseln die Anzahl der Elemente mit ihrer Größe.
>> Die geraden Zahlen wachsen einfach ein bisschen schneller.
>
> Nein, ich akzeptiere einfach, dass die Menge vollständig ist. Zum
> Beispiel vollständig angetreten, um mit einer anderen Menge in Bijektion
> zu stehen Beisoiel Hilberts Hotel: Alle natürlichen Zimmernummern sind
> mit allen natürlich nummerierten Gästen versehen. Und nun kommt doch
> noch ein natürlich nummerierter Gast. Ich halte das für inkonsistent.
Der neue Gast hat noch keine Nummer, die bekommt er erst zugewiesen,
so wie alle anderen Gäste auch eine neue bekommen. Die Gäste entsprechen
nicht ihren Nummern.

>> Man kann die „dunklen” Zahlen nicht angeben, und sie nur kollektiv
>> behandeln. Dann kann man sie ja fast ignorieren.
>
> Das kann man ohne Zweifel. Alles, was in der Mathematik als Zahl eine
> Rolle spielt, ist erkennbar. Dunkle Zahlen müssen nicht existieren. Aber
> die reelle Achse hätte dann Lücken.
Wunderbar. R ist aber „dicht”.

>> Was ist N_def? Das, was wir geläufigerweise unter N verstehen?
>
> ES ist die potentiell unendliche Folge, die zum Beispiel aus Peanos
> Axiomen resultiert.
>
>> Was ist der Unterschied zwischen {1, 2, …, n} und {1, 2, …}?
>> Ich sehe einen Widerspruch zwischen Ihren beiden Gleichungen.

> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo Das besagt, alle von Peano
> definierten natürlichen Zahlen gehören zu einer stets endlichen, wenn
> auch nicht fixierbaren Menge oder besser Kollektion, auf die noch
> unendlich viele Zahlen folgen.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist NICHT endlich. Alle Nachfolger sind
bereits in ihr enthalten - außer man betrachtet Anfangsstücke, aber die
sind ja Teilmengen.

--
joes

On 04.05.2024 22:48, joes wrote:
> Am Sat, 04 May 2024 17:15:40 +0200 schrieb WM:
>
>> On 04.05.2024 15:16, joes wrote:
>>> Am Sat, 04 May 2024 12:50:44 +0200 schrieb WM:
>>
>>> Ich finde es ja praktischer, diesen Mischmasch zu verwenden, als
>>> „dunkle”
>>> Zahlen zu erfinden. Es mag zwar unintuitiv sein, aber welche Logik ist
>>> verletzt? Unendliche Mengen verhalten sich halt anders, na und.
>>
>> Diese Logik ist verletzt: Alle natürlichen Zahlen werden vergrößert, zum
>> Beispiel verdoppelt. Trotzdem bleibt die Menge unverändert.
> Die Größe der Elemente hat nichts mit ihrer Anzahl zu tun.

Aber es gibt keine natürlichen Zahlen, die größer als alle natürlichen
Zahlen sind. Bei jeder Verdopplung wächst die Größe. Verdoppelt man alle
natürlichen Zahlen, so entstehen größere als all. Das können keinen
natürlichen Zahlen mehr sein.

>> ich akzeptiere einfach, dass die Menge vollständig ist. Zum
>> Beispiel vollständig angetreten, um mit einer anderen Menge in Bijektion
>> zu stehen Beispiel Hilberts Hotel: Alle natürlichen Zimmernummern sind
>> mit allen natürlich nummerierten Gästen versehen. Und nun kommt doch
>> noch ein natürlich nummerierter Gast. Ich halte das für inkonsistent.

> Der neue Gast hat noch keine Nummer, die bekommt er erst zugewiesen,
> so wie alle anderen Gäste auch eine neue bekommen. Die Gäste entsprechen
> nicht ihren Nummern.

Der neue Gast *ist* eine neue Nummer. Alle alten Gäste sind alle
natürlichen Zahlen, oder haben sie zum Beispiel als Rückennummern.
>
>>> Man kann die „dunklen” Zahlen nicht angeben, und sie nur kollektiv
>>> behandeln. Dann kann man sie ja fast ignorieren.
>>
>> Das kann man ohne Zweifel. Alles, was in der Mathematik als Zahl eine
>> Rolle spielt, ist erkennbar. Dunkle Zahlen müssen nicht existieren. Aber
>> die reelle Achse hätte dann Lücken.
> Wunderbar. R ist aber „dicht”.

Ebent!

> Die Menge der natürlichen Zahlen ist NICHT endlich. Alle Nachfolger sind
> bereits in ihr enthalten

Deswegen können keine weiteren existieren.

Gruß WM

Am 05.05.2024 um 13:07 schrieb WM:
> On 04.05.2024 22:48, joes wrote:

> verdoppelt man alle natürlichen Zahlen, so entstehen [Zahlen, die] größere [sind] als all[e natürlichen Zahlen].

Nein, Mückenheim, das ist wegen der Abgeschlossenheit der natürlichen
Zahlen bezüglich der Addition bzw. Multiplikaton NICHT der Fall. Es gilt
für alle natürlichen Zahlen n e IN: n*2 = n + n e IN.

In Worten: "Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren
oder zu multiplizieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten."

Siehe: https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Zahlenmengen

Am 05.05.2024 um 13:07 schrieb WM:
> On 04.05.2024 22:48, joes wrote:

> verdoppelt man alle natürlichen Zahlen, so entstehen [Zahlen, die]
größere [sind] als all[e natürlichen Zahlen].

Nein, Mückenheim, das ist wegen der Abgeschlossenheit der natürlichen
Zahlen bezüglich der Addition bzw. Multiplikaton NICHT der Fall. Es gilt
für alle n e IN: n*2 = n + n e IN.

In Worten: "Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren
oder zu multiplizieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten."

Siehe: https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Zahlenmengen

Am Sun, 05 May 2024 13:07:33 +0200 schrieb WM:

> On 04.05.2024 22:48, joes wrote:
>> Am Sat, 04 May 2024 17:15:40 +0200 schrieb WM:
>>
>>> On 04.05.2024 15:16, joes wrote:
>>>> Am Sat, 04 May 2024 12:50:44 +0200 schrieb WM:
>>>
>>> Diese Logik ist verletzt: Alle natürlichen Zahlen werden vergrößert,
>>> zum Beispiel verdoppelt. Trotzdem bleibt die Menge unverändert.
>> Die Größe der Elemente hat nichts mit ihrer Anzahl zu tun.
>
> Aber es gibt keine natürlichen Zahlen, die größer als alle natürlichen
> Zahlen sind. Bei jeder Verdopplung wächst die Größe. Verdoppelt man alle
> natürlichen Zahlen, so entstehen größere als all. Das können keinen
> natürlichen Zahlen mehr sein.
Widerspruch. Verdoppelt man jede natürliche Zahl, entsteht eine (endliche)
natürliche Zahl. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Doppeltes größer
als alle ist.

>> Der neue Gast hat noch keine Nummer, die bekommt er erst zugewiesen,
>> so wie alle anderen Gäste auch eine neue bekommen. Die Gäste
>> entsprechen nicht ihren Nummern.
>
> Der neue Gast *ist* eine neue Nummer. Alle alten Gäste sind alle
> natürlichen Zahlen, oder haben sie zum Beispiel als Rückennummern.
Nein, Hilberts Hotel beherbergt schon alle natürlichen Zahlen, der neue
Gast ist keine. Alle Gäste werden mit der Abbildung +1 weitergeschoben.

>>>> Man kann die „dunklen” Zahlen nicht angeben, und sie nur kollektiv
>>>> behandeln. Dann kann man sie ja fast ignorieren.
>>> Das kann man ohne Zweifel. Alles, was in der Mathematik als Zahl eine
>>> Rolle spielt, ist erkennbar. Dunkle Zahlen müssen nicht existieren.
>>> Aber die reelle Achse hätte dann Lücken.
>> Wunderbar. R ist aber „dicht”.
> Eben[t]!
Schon ohne „dunkle” Zahlen. Wo sollten die Lücken sein?

>> Die Menge der natürlichen Zahlen ist NICHT endlich. Alle Nachfolger
>> sind bereits in ihr enthalten
> Deswegen können keine weiteren existieren.
Alle unendlich vielen Nachfolger.
Was sollte das auch heißen, dass es natürliche Zahlen gibt, die keine
sind?

--
joes

Am 2024-05-05 um 14:14 schrieb joes:
> Widerspruch. Verdoppelt man jede natürliche Zahl, entsteht eine
(endliche)
> natürliche Zahl. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Doppeltes größer
> als alle ist.

das ist richtig. BRAVO !!!

=> *1 *1 *1 = 1 (minus)

(das minus nur deshalb das der Poster nicht zu sehr übermütig wird hihi)

Jens

On 05.05.2024 14:14, joes wrote:
> Am Sun, 05 May 2024 13:07:33 +0200 schrieb WM:
>
>> Aber es gibt keine natürlichen Zahlen, die größer als alle natürlichen
>> Zahlen sind. Bei jeder Verdopplung wächst die Größe. Verdoppelt man alle
>> natürlichen Zahlen, so entstehen größere als all. Das können keinen
>> natürlichen Zahlen mehr sein.
> Widerspruch. Verdoppelt man jede natürliche Zahl, entsteht eine (endliche)
> natürliche Zahl. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Doppeltes größer
> als alle ist.

Wenn es dunkle Zahlen gibt, ist diese Aussage falsch.
>
>>> Der neue Gast hat noch keine Nummer, die bekommt er erst zugewiesen,
>>> so wie alle anderen Gäste auch eine neue bekommen. Die Gäste
>>> entsprechen nicht ihren Nummern.
>>
>> Der neue Gast *ist* eine neue Nummer. Alle alten Gäste sind alle
>> natürlichen Zahlen, oder haben sie zum Beispiel als Rückennummern.
> Nein, Hilberts Hotel beherbergt schon alle natürlichen Zahlen, der neue
> Gast ist keine.

Alle Gäste sind Nummern.

> Alle Gäste werden mit der Abbildung +1 weitergeschoben.

Das ist nicht möglich, wenn aktal unendlich viele Zimmer belegt sind.
Mehr gibt es nämlich nicht. Hilberts Hotel benutzt die potentielle
Unendlichkeit. Das wird in der ML immer wieder durcheinandergeworfen.

>>> Wunderbar. R ist aber „dicht”.
>> Ebent!
> Schon ohne „dunkle” Zahlen. Wo sollten die Lücken sein?

Die kleinste reelle Zahl oder die nächsten Nachbarn von pi gibt es
nicht, sagt man. Ist |R aktual unendlich, dann gibt es alle reellen
Zahlen, also auch diese.
>
>>> Die Menge der natürlichen Zahlen ist NICHT endlich. Alle Nachfolger
>>> sind bereits in ihr enthalten
>> Deswegen können keine weiteren existieren.
> Alle unendlich vielen Nachfolger.
> Was sollte das auch heißen, dass es natürliche Zahlen gibt, die keine
> sind?

Es gibt keine natürlichen Zahlen, die keine sind, aber es gibt (unter
der Annahme aktualer Unendlichkeit) dunkle natürliche Zahlen, die bei
Verdopplung keine natürlichen Zahlen mehr sind.
Multipliziere jedes Element der Menge {1, 2, 3, ..., ω} mit 2. Es ergibt
sich {2, 4, 6, ..., ω*2}. Welche Produkte fallen in das Intervall
zwischen ω und ω*2? Welche Größe besitzt das Intervall zwischen ℕ*2 und
ω*2?

Gruß, WM
>

Am Sun, 05 May 2024 17:28:13 +0200 schrieb WM:

> On 05.05.2024 14:14, joes wrote:
>> Am Sun, 05 May 2024 13:07:33 +0200 schrieb WM:
>>
>>> Aber es gibt keine natürlichen Zahlen, die größer als alle natürlichen
>>> Zahlen sind. Bei jeder Verdopplung wächst die Größe. Verdoppelt man
>>> alle natürlichen Zahlen, so entstehen größere als all. Das können
>>> keinen natürlichen Zahlen mehr sein.
>> Widerspruch. Verdoppelt man jede natürliche Zahl, entsteht eine
>> (endliche)
>> natürliche Zahl. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Doppeltes größer
>> als alle ist.
> Wenn es dunkle Zahlen gibt, ist diese Aussage falsch.
Das ist Ihre Behauptung, die Sie beweisen müssen.

>>>> Der neue Gast hat noch keine Nummer, die bekommt er erst zugewiesen,
>>>> so wie alle anderen Gäste auch eine neue bekommen. Die Gäste
>>>> entsprechen nicht ihren Nummern.
>>> Der neue Gast *ist* eine neue Nummer. Alle alten Gäste sind alle
>>> natürlichen Zahlen, oder haben sie zum Beispiel als Rückennummern.
>> Nein, Hilberts Hotel beherbergt schon alle natürlichen Zahlen, der neue
>> Gast ist keine.
> Alle Gäste sind Nummern.
Welche Nummern tragen dann bitte die Neuankömmlinge, wenn alle natürlichen
Zahlen schon untergebracht sind?

>> Alle Gäste werden mit der Abbildung +1 weitergeschoben.
> Das ist nicht möglich, wenn aktal unendlich viele Zimmer belegt sind.
> Mehr gibt es nämlich nicht. Hilberts Hotel benutzt die potentielle
> Unendlichkeit. Das wird in der ML immer wieder durcheinandergeworfen.
Mehr braucht es auch nicht. Jeder Gast geht einfach ein Zimmer weiter.
Was ist der Unterschied?

>>>> Wunderbar. R ist aber „dicht”.
>>> Ebent!
>> Schon ohne „dunkle” Zahlen. Wo sollten die Lücken sein?
> Die kleinste reelle Zahl oder die nächsten Nachbarn von pi gibt es
> nicht, sagt man. Ist |R aktual unendlich, dann gibt es alle reellen
> Zahlen, also auch diese.
Es gibt auch keinen kleinsten Stammbruch. Man kann sie immer weiter
halbieren, zum Beispiel.

>>>> Die Menge der natürlichen Zahlen ist NICHT endlich. Alle Nachfolger
>>>> sind bereits in ihr enthalten
>>> Deswegen können keine weiteren existieren.
>> Alle unendlich vielen Nachfolger.
>> Was sollte das auch heißen, dass es natürliche Zahlen gibt, die keine
>> sind?
> Es gibt keine natürlichen Zahlen, die keine sind, aber es gibt (unter
> der Annahme aktualer Unendlichkeit) dunkle natürliche Zahlen, die bei
> Verdopplung keine natürlichen Zahlen mehr sind.
Was, verdammt noch mal, sind diese dunklen Zahlen? Man kann doch immer
weiterzählen und sie damit „erhellen”.

> Multipliziere jedes Element der Menge {1, 2, 3, ..., ω} mit 2. Es ergibt
> sich {2, 4, 6, ..., ω*2}. Welche Produkte fallen in das Intervall
> zwischen ω und ω*2? Welche Größe besitzt das Intervall zwischen ℕ*2 und
> ω*2?
Alte Frage, aber die zweite Menge enthält kein ω. Die Menge hat nichts
mit der Größe ihrer Elemente zu tun. Wir haben hier lediglich N u ω ->
2N u ω*2.

--
joes

On 05.05.2024 18:24, joes wrote:
> Am Sun, 05 May 2024 17:28:13 +0200 schrieb WM:
>
>> On 05.05.2024 14:14, joes wrote:
>>> Am Sun, 05 May 2024 13:07:33 +0200 schrieb WM:
>>>
>>>> Aber es gibt keine natürlichen Zahlen, die größer als alle natürlichen
>>>> Zahlen sind. Bei jeder Verdopplung wächst die Größe. Verdoppelt man
>>>> alle natürlichen Zahlen, so entstehen größere als all. Das können
>>>> keinen natürlichen Zahlen mehr sein.
>>> Widerspruch. Verdoppelt man jede natürliche Zahl, entsteht eine
>>> (endliche)
>>> natürliche Zahl. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Doppeltes größer
>>> als alle ist.
>> Wenn es dunkle Zahlen gibt, ist diese Aussage falsch.
> Das ist Ihre Behauptung, die Sie beweisen müssen.

Wenn es dunkle Zahlen gibt, dann gibt es die größte natürliche Zahl,
denn zwischen ℕ und ω (die kleinste transfinite Zahl) passt nichts. Im
Gegnsatz zu potentieller Unendlichkeit, wo eine riesige Lücke zwischen ℕ
und ω klafft.
>
>> Alle Gäste sind Nummern.
> Welche Nummern tragen dann bitte die Neuankömmlinge, wenn alle natürlichen
> Zahlen schon untergebracht sind?

Es gibt keine Neuankömmlinge. Das ganze Hotel ist lediglich eine
Anwendung potentiell unendlicher Mathematik.
>
>>> Alle Gäste werden mit der Abbildung +1 weitergeschoben.
>> Das ist nicht möglich, wenn aktal unendlich viele Zimmer belegt sind.
>> Mehr gibt es nämlich nicht. Hilberts Hotel benutzt die potentielle
>> Unendlichkeit. Das wird in der ML immer wieder durcheinandergeworfen.
> Mehr braucht es auch nicht. Jeder Gast geht einfach ein Zimmer weiter.
> Was ist der Unterschied?

In aktualer Unendlichkeit wäre das Weitergehen eine Transition von {1, 2
3, ...} nach {2, 3, 4, ..., ω}.
>
>>>>> Wunderbar. R ist aber „dicht”.
>>>> Ebent!
>>> Schon ohne „dunkle” Zahlen. Wo sollten die Lücken sein?
>> Die kleinste reelle Zahl oder die nächsten Nachbarn von pi gibt es
>> nicht, sagt man. Ist |R aktual unendlich, dann gibt es alle reellen
>> Zahlen, also auch diese.
> Es gibt auch keinen kleinsten Stammbruch. Man kann sie immer weiter
> halbieren, zum Beispiel.

Das ist wieder eine Anwendung potentieller Unendlichkeit.
Wenn alle Stammbrüche starr und unveränderlich vorhanden sind, dann
trifft ein Cursor, der von 0 startet, auf einen ersten.

> Was, verdammt noch mal, sind diese dunklen Zahlen? Man kann doch immer
> weiterzählen und sie damit „erhellen”.

Man kann beliebig weiter erhellen, aber fast alle Zahlen bleiben dunkel.
Das ist eine unendliche Menge. Könnte man sie ganz erhellen, dann hätte
man einen Widerspruch: ω-1 oder den kleinsten Stammbruch.
>
>> Multipliziere jedes Element der Menge {1, 2, 3, ..., ω} mit 2. Es ergibt
>> sich {2, 4, 6, ..., ω*2}. Welche Produkte fallen in das Intervall
>> zwischen ω und ω*2? Welche Größe besitzt das Intervall zwischen ℕ*2 und
>> ω*2?
> Alte Frage, aber die zweite Menge enthält kein ω. Die Menge hat nichts
> mit der Größe ihrer Elemente zu tun. Wir haben hier lediglich N u ω ->
> 2N u ω*2.

Das akzeptiere ich nicht. Denn es resultiert wieder aus der Annahme,
dass nicht alle Zahlen < ω verdoppelt werden. Aus Symmetriegründen
enthält die zweite Menge ω oder ω+1 ungefähr in der Mitte.

Gruß, WM

Am 2024-05-05 um 18:24 schrieb joes:
> Es gibt auch keinen kleinsten Stammbruch. Man kann sie immer weiter
> halbieren, zum Beispiel.

- das ist falsch.
- das geht leider nicht so, wie Du Dich das gerade denkst !

- damit man etwas teilen kann, also die Differenz bilden könnte, müssten
mindestens zwei mathematische Objekte vorhanden sein.
Im allgemeinen bedeutet dies, das Du den "nächst" größeren bzw. den
"nächst" kleineren Wert durch den gegebenen Wert teilen müsstes.

- da man bei der Betrachtung von |IN| sich auf die positiven Ganzzahlen
beschränkt, fallen werte wie -2 oder -4 weg.
- man teilt also plus eins durch plus zwei (plus zwei ist das "nächst"
größere mathematische Objekt) und man erhält ein reelles (IR) Objekt.

Somit kann man nicht behaupten, das man Stammbrüche "immer weiter durch
zwei bzw. halbieren" kann.

Darüber hinaus versteht man unter einen Stammbruch die Ausdrücke:
1/1, 2/1, 3/1, 4/1, ...

und nicht etwa: 1/2, 1/3, 1/4, ...

Euer Schreiberling
Jens