Im Thread "Gibt es Epsilon-Pfade" hatte ich hilfreiche Antworten
erhalten, die ich gut bei der Verfolgung meines "Alter forscht" Projekts
"Doppelgitter" verwenden konnte. Nochmals Dank an die Helfer,
insbesondere Martin Vaeth.

Es gibt Funktionen, deren Definitionsbereich in natürlicher Weise der
Torus ist, den man sich als doppelt verklebtes rechteckiges Blatt Papier
vorstellen kann.
Beispiel:
Ein Stundenplan gibt zum Wochentag w und der Stunde s die Aktivität an
Stundenplan: (w,s) -> Aktivität.
Es gilt Stundenplan(w+7,s+24) = Stundenplan(w,s).
Will man erreichen, dass zeitlich nahe beieinander liegende Aktivitäten
auch räumlich dicht auf dem Stundenplan zu finden sind, dann muss man
linken (vor Montag) und rechten Rand (nach Sonntag) verkleben, sowie den
oberen (vor 0 Uhr) und unteren Rand (nach 23 Uhr).

Für die Nachbarschaftsverhältnisse im Doppelgitter habe ich
herausgefunden, dass ich nicht die ganze Ebene betrachten muss, sondern
dass ich mich auf den ersten Quadranten beschränken kann, wobei ich aber
x- und y-Achse verkleben muss.
Das ergibt eine Tüte oder vornehmer gesagt einen Kegelmantel, wobei aber
der Kegel unbeschränkt ist.
Wie heißt solch eine Form (Mannigfaltigkeit) im Mathe-Sprech?
Gemeinerweise kann man die Tüte ja platt klopfen, d.h. topologisch ist
sie nix Besonderes. Ich mache davon auch Gebrauch und projiziere damit
Teile des Doppelgitters in neuer Weise in die kartesische Ebene, aber
mich interessiert das Zwischenstadium "Kegelmantel". Ich freue mich auf
hilfreiche Lese-Tipps.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
Doppelgitter-Forscher

Hallo Rainer,

fang doch mit Deinen Vorschlag: "platt drücken" an.
Dadurch ergibt sich eine 2 IR anstelle mit 3 IR zu fuchteln.

Viele Facebook-Spiele sind so mit der iso-morphen 3 IR ausgestattet.
Das heißt: es wird der 3 IR simuliert, indem man 2 Dreiecke zu einen
Quader zusammen stöpselt, und auf eine um 45 Grad gedrehte 2D Fläche
die Bilder legt.

Ein Kegel könnte also als Dreieck, und einen Kreis dargestellt werden
der jeweiter die Schritte werden halbiert und in seinen Radius mehr
und mehr erweitert wird.

Wenn Du diesen Schritt gemeistert hast, kannst Du ja den Kegel in mehr-
eren Schritten als Doppel-Dreieck aufzeichnen.

Dazu nimmst Du ein quadratisches Blatt Papier, und Schneidest dieses zu
bis Du zwei rechtwinklige Dreiecke hast.

Dann könntest Du die zwei resultierenden Dreiecke wieder mit Klebeband
zu einen größeren Dreieck zusammen basteln - also an den Rändern der
Dreiecke - da wo der rechte Winkel sich befindet.

Jetzt fehlt nur noch ein "Untergrund" für den Kegel...
Das ist ein normaler Kreis der den halben Radius eines der beiden zu-
sammen geklebten Dreiecke hat.

Diesen Kreis klebst Du dann in der Mitte fest - da wo die beiden rechten
Winkel sich zusammen-treffen.

Nun kannst Du den Kegel zusammenrollen und der Kreis würde dann den Ab-
schluß ergeben.

Wenn Du vor dem zusammenkleben des Untergrunds ein kleines Loch in die
Mitte des Kreises einbringst, durch das du einen Faden mit einen Stein
befestigst - so als Zuglast, dann hast Du eine Krümmung des Kreises.

Beachte aber, das nun der Kreis nicht ausreichend sein könnte, weil er
durch den Stein mehr PPlatz verdrängt und ggf. der Kreis noch einige
cm oder mm erweitert werden müsste, um die gewölbte Fläche auszugleich-
en.

Ich hoffe das dir das hilft
Jens

Am 08.05.2024 um 13:56 schrieb Jens Kallup:
>
> fang doch mit Deinen Vorschlag: "platt drücken" an.
> Dadurch ergibt sich eine 2 IR anstelle mit 3 IR zu fuchteln.
>

Danke für den gut gemeinten Rat, aber ich will erst einmal die lokalen
Abstände nicht verändern.
Wenn ich ein quadratisches Karo-Papier zur Tüte forme, indem ich den
linken Rand (y-Achse) und den unteren Rand (x-Achse) verklebe, dann
bleiben Karos erhalten und ihre Seitenlängen ändern sich nicht, weil das
Papier nicht verzerrt wird.

Wenn ich die Tüte dann aber "platt drücke", dann verformen sich die
Karos. Die äußeren Karos muss ich ziehen und dabei vergrößern, die
inneren stauchen und dabei verkleinern. Gar nicht so einfach, und alle
Abstände sind zum Teufel. Ich habe das gerade mal exerziert und ein 6 x
6 Papier entsprechend zusammengeklebt. Das ist echt faszinierend, wenn
man senkrecht auf die Spitze des Kegels schaut und die Gitterlinien zu
Hyperbel-Schleifen werden. Ich hatte naiv angenommen, ich würde
konzentrische Ringe zu sehen bekommen. Ich werde meine hübsche kleine
Tüte jetzt nicht mit dem Hammer bearbeiten, denn handwerklich war das
zwar ganz nett und anschaulich interessant, aber meine Frage zielte auf
die mathematische Literatur: Mathematik auf Torus und Kegel.

Gruß,
Rainer

Am 08.05.2024 um 13:32 schrieb Rainer Rosenthal:
> Es gibt Funktionen, deren Definitionsbereich in natürlicher Weise der
> Torus ist, den man sich als doppelt verklebtes rechteckiges Blatt Papier
> vorstellen kann.
> Beispiel:
> Ein Stundenplan gibt zum Wochentag w und der Stunde s die Aktivität an
> Stundenplan: (w,s) -> Aktivität.
> Es gilt Stundenplan(w+7,s+24) = Stundenplan(w,s).

Wohl eher Stundenplan(w+7,s) = Stundenplan(w,s)
und Stundenplan(w,s+24) = Stundenplan(w+1,s)

Ist das noch ein Torus, wenn man sich durch Bewegung auf der einen Achse
gleichzeitig in anderem Tempo auf der zweiten bewegt?

Am 08.05.2024 um 15:26 schrieb Stefan Schmitz:

>> Ein Stundenplan gibt zum Wochentag w und der Stunde s die Aktivität an
>> Stundenplan: (w,s) -> Aktivität.
>> Es gilt Stundenplan(w+7,s+24) = Stundenplan(w,s).
>
> Wohl eher Stundenplan(w+7,s) = Stundenplan(w,s)
> und Stundenplan(w,s+24) = Stundenplan(w+1,s)
>

Sorry, falsch formuliert. Ich hatte die modulo-Rechnung völlig verkorkst
dargestellt. Die Variablen w und s sollen modulo 7 bzw. 24 laufen.
Wochentage So, Mo, Di, Mi, Do, Fr, Sa
sind codiert als w = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Die Stunden eines Tages sind s = 0, 1, 2, ... 23

Malt man den Stundenplan als 7 Spalten (0..6) mit 24 Zeilen (0..23) auf
ein rechteckiges Blatt Papier, dann ist der Abstand von "Sonntag 23 Uhr"
zu "Montag 0 Uhr" auf dem Papier sehr groß, obwohl nur eine Stunde
zwischen den beiden Zeitpunkten liegt. Gleiches gilt für "Samstag 0 Uhr"
und "Sonntag 0 Uhr", die räumlich viele Tage auseinander liegen,
zeitlich aber nur einen Tag auseinander sind.

Das Torus-Kleben beseitigt diesen Missstand. Dann liegen die genannten
Zeitpunkte Stundenplan(0,23) und Stundenplan(1,0) räumlich näher
beieinander, und auch Stundenplan(6,0) liegt dann räumlich näher an
Stundenplan(0,0).

> Ist das noch ein Torus, wenn man sich durch Bewegung auf der einen Achse
> gleichzeitig in anderem Tempo auf der zweiten bewegt?

Wie Du Dich auf dem Torus bewegst, ist doch egal. Der Torus bleibt auch
dann Torus, wenn sich nichts auf ihm bewegt. Aber vielleicht habe ich
Deine Frage nur nicht verstanden. Dann erkläre sie mir bitte noch.
Aber vielleicht ist durch meine Reparatur des Stundenplans alles klar
geworden.

Gruß,
Rainer

Am Wed, 08 May 2024 14:34:23 +0200 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 08.05.2024 um 13:56 schrieb Jens Kallup:
>> fang doch mit Deinen Vorschlag: "platt drücken" an. Dadurch ergibt sich
>> eine 2 IR anstelle mit 3 IR zu fuchteln.
>>
> Danke für den gut gemeinten Rat, aber ich will erst einmal die lokalen
> Abstände nicht verändern.
> Wenn ich ein quadratisches Karo-Papier zur Tüte forme, indem ich den
> linken Rand (y-Achse) und den unteren Rand (x-Achse) verklebe, dann
> bleiben Karos erhalten und ihre Seitenlängen ändern sich nicht, weil das
> Papier nicht verzerrt wird.
>
> Wenn ich die Tüte dann aber "platt drücke", dann verformen sich die
> Karos. Die äußeren Karos muss ich ziehen und dabei vergrößern, die
> inneren stauchen und dabei verkleinern. Gar nicht so einfach, und alle
> Abstände sind zum Teufel. Ich habe das gerade mal exerziert und ein 6 x
> 6 Papier entsprechend zusammengeklebt. Das ist echt faszinierend, wenn
> man senkrecht auf die Spitze des Kegels schaut und die Gitterlinien zu
> Hyperbel-Schleifen werden. Ich hatte naiv angenommen, ich würde
> konzentrische Ringe zu sehen bekommen. Ich werde meine hübsche kleine
> Tüte jetzt nicht mit dem Hammer bearbeiten, denn handwerklich war das
> zwar ganz nett und anschaulich interessant, aber meine Frage zielte auf
> die mathematische Literatur: Mathematik auf Torus und Kegel.

Lieber Rainer,
vielleicht habe ich Dich falsch verstanden, aber bei mir verzerrt sich
nichts. Auf dem Papier (haha) bleiben alle Abstände gleich.
Stimmt, da die Achsen identifiziert werden, schließen sich die Linien
nicht.
Da wir mit einem flachen Stück Papier angefangen haben, sollte sich das
doch leicht plätten lassen. Wenn man die Tüte dann zuklappen will, passt
das nicht, dabei würden die beiden verbliebenen Kanten jedoch mit ihren
eigenen Hälften gespiegelt identifiziert werden. Man bekommt das Richtige
heraus, wenn man das Blatt einfach diagonal faltet.
Hoffe, das hilft.

--
joes

Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> schrieb:
> Wenn ich ein quadratisches Karo-Papier zur Tüte forme, indem ich den
> linken Rand (y-Achse) und den unteren Rand (x-Achse) verklebe, dann
> bleiben Karos erhalten und ihre Seitenlängen ändern sich nicht, weil das
> Papier nicht verzerrt wird.

Ja, Du erhältst eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit.
(Die Spitze muss man natürlich "wegnehmen", um eine Mannigfaltigkeit
zu erhalten).
Zu Deiner Frage aus dem letzten Posting: Wenn Du das für den
gesamten ersten Quadranten machst, nennt man das tatsächlich "Kegel",
vermutlich "Standardkegel", oder so ähnlich.

> Das ist echt faszinierend, wenn
> man senkrecht auf die Spitze des Kegels schaut und die Gitterlinien zu
> Hyperbel-Schleifen werden. Ich hatte naiv angenommen, ich würde
> konzentrische Ringe zu sehen bekommen.

Das sind - Überraschung - gerade Kegelschnitte.
Aber natürlich sind Kreise und Geraden ebenfalls Kegelschnitte:
Wenn Du das ursprüngliche Papier um 45 Grade drehst, erhältst Du
die ovnn Dir erwarteten konzentrischen Ringe (Kreise) bzw. die
Geraden.

Am 09.05.2024 um 10:21 schrieb joes:
> vielleicht habe ich Dich falsch verstanden, aber bei mir verzerrt sich
> nichts. Auf dem Papier (haha) bleiben alle Abstände gleich.
>

Danke für die Antwort.
Meine Verzerrung war hausgemacht, weil ich den ersten Quadranten
fächerartig verzerrt habe.
Den Punkt mit den Polarkoordinaten (r,alpha) habe ich abgebildet auf den
Punkt (r,4*alpha). Damit wandern die Punkte (r,Pi/2) der y-Achse zu den
Punkten (r,4*Pi/2) = (r,2*Pi) = (r,0) auf der x-Achse.
Die Verzerrung handle ich mir nun dadurch ein, dass ich den Radius r
nicht mitgeändert habe. Ein Kästchen ABCD auf der Diagonalen des ersten
Quadranten hat die Punkte A und C auf der Diagonalen, d.h. ihre Winkel
sind gleich Pi/4, und ihr Abstand sqrt(2). A und C kommen also auf die
negative x-Achse mit Abstand sqrt(2). Die Punkte B und D haben aber
unterschiedliche Winkel, und zum einen wird ihre Winkeldistanz
vervierfacht, und zum anderen wird ihr Bildabstand dann auch noch um so
größer, je grüßer ihr (gemeinsamer) Abstand vom Ursprung ist.
Das Bild A'B'C'D' von ABCD ist also sehr weit von der Quadrat-Form
entfernt und böse verzerrt.
Dass die Seiten nicht mehr gerade sondern gebogen sind, ist das kleinere
Übel :-)

Gruß,
Rainer